Исследуются собственные функции n-мерного гиперкуба, точнее, его матрицы смежности. Собственные значения имеют вид λ = n- 2i, i = 0,1,…n, соответствующие им собственные функции назовем λ-функциями, для фиксированного λ они образуют подпространство во множестве всех функций, заданных на гиперкубе. λ-функции являются удобным инструментом представления различных объектов в гиперкубе, таких как совершенные раскраски. В работе изучается следующий вопрос: насколько исчепывающе характеризуют λ-функцию (при произвольном фиксированном λ) ее значения в вершинах сферы радиуса h, 1≤ h ≤ n? Ответ зависит от соотношения λ и h:
если h ≤ l(λ) = min{(n-λ)/2, (n+λ)/2}, то однозначно определены значения λ-функции во всех вершинах шара радиуса h с тем же центром;
если l(λ) ≤ h ≤ n/2, то однозначно определены значения λ-функции во всех вершинах гиперкуба.
Важно, что в обоих случаях имеются дополнительные необходимые условия частичной или полной восстановимости λ-функции, формулируемые в терминах значений многочленов Кравчука.
Отметим, что в случае h > n/2 ситуация аналогична.