Обсуждается обобщенная операция суммирования конечных наборов вещественных величин, которая обобщает многие известные частные случаи суммирования в том же духе, как обобщенное среднее по Колмогорову обобщает различные виды средних.
Доказывается, что если операция S(x1, … xn), определенная на (конечном или бесконечном) интервале I и для всех натуральных n, удовлетворяет следующим требованиям:
- S(x) = x;
- S — непрерывная;
- S — строго монотонно возрастающая по каждому аргументу;
- S — симметричная, т.е. при любой перестановке аргументов общая сумма остается неизменной;
- S — ассоциативная, т.е. если заменить любую подгруппу аргументов на их сумму, то общая сумма не изменится:
S(x1, …, xn, y1, …, ym) = S(x1, …, xn, S(y1, …, ym)),
то S имеет вид:
S(x1, … xn) = f-1(f(x1)+…+f(xn))
для некоторой непрерывной взаимно однозначной монотонно возрастающей функции f: I → I.